Categóricas nominales:

Los valores distintivos no implican un orden especifico. Representan un identificador o símbolo único dentro de un sistema de identificaciones o símbolos o tipos. No existe ningún referente cuantitativo. Sirve para nombrar las unidades de análisis en una investigación. Ejemplo: Marca de auto, religión, sexo, género, etc.

Categóricas ordinales:

Parecidas a las nominales, pero tienen una relación de jerarquía entre las categorías, por ejemplo: Estratos Socioeconómicos, Niveles Educativos, Rangos militares, Ranking Deportivo, etc

En estadística las tablas de contingencia o tablas de doble entrada, se emplean para registrar y analizar la asociación entre dos o más individuos, habitualmente de naturaleza cualitativa (nominales u ordinales).

Por ejemplo:

Suponiendo que se tienen dos variables, la primera el género y la segunda obesos. Se ha observado esta pareja de variables en una muestra aleatoria de 408 individuos. Se puede emplear una tabla de contingencia para expresar la relación entre estas dos variables:

	Obesidad
Género	Obesos	No Obesos	Totales
Hombres	227	79	306
Mujeres	23	79	102
Totales	250	158	408

En relación a los datos, ¿qué hipótesis podemos plantear?, ¿cómo lo validamos?

Independencia: Las categorías de dos variables son independientes entre si, es decir, no hay asociación.

Concepto de independencia estadística: si dos eventos son independientes, entonces la ocurrencia conjunta de ambos eventos se da por el producto de sus probabilidades por separado.

Entonces su rechazo indica asociación entre dos variables.

Homogeneidad: Las proporciones de I filas son similares con respecto a las J columnas

Ejemplo asumiendo la Independencia, para tablas 2x2:

¿Está la obesidad influenciada por el género?, es decir:

Ho: El género no influye en la obesidad (independencia)

H1: El género si influye en la obesidad (asociación)

Permite juzgar si existe o no, una diferencia significativa entre los valores observados de una categoría con el correspondiente número esperado de casos, basándose en la hipótesis nula.

Una de las aplicaciones fundamentales es el contraste de Bondad de Ajuste, que consiste en saber si una muestra procede de una población teórica con determinada distribución de probabilidad.

Formula de \(\chi^2\) (Ji-cuadrado): \(\chi^2= \sum_{i=1}^{k}\frac{(o_{i}-e_{i})^2}{e_{i}}\)

Fómula de valores esperados/teóricos: \(Esperados = \frac{n_{.j}n_{i.}}{n_{..}}\)

	J
i	1	2	Total
1	\(n_{11}\)	\(n_{12}\)	\(n_{1.}\)
2	\(n_{21}\)	\(n_{22}\)	\(n_{2.}\)
Total	\(n_{.1}\)	\(n_{.2}\)	\(n_{..}\)

Calculo de valores esperados

	Obesidad
Género	Obesos	No Obesos	Total
Hombres	\(\frac{250*306}{408}=187.5\)	\(\frac{158*306}{408}=118.5\)	\(306\)
Mujeres	\(\frac{250*102}{408}=62.5\)	\(\frac{158*102}{408}=39.5\)	\(102\)
Total	\(250\)	\(158\)	\(408\)

Calculo de Ji-cuadrado

	Obesidad
Género	Obesos	No Obesos	Total
Hombres	\(\frac{(227-187.5)^2}{187.5}=8.32\)	\(\frac{(79-118.5)^2}{118.5}=13.17\)	\(21.49\)
Mujeres	\(\frac{(23-62.5)^2}{62.5}=24.96\)	\(\frac{(79-39.5)^2}{39.5}=39.50\)	\(64.46\)
Total	\(33.28\)	\(52.67\)	\(85.95\)

El valor \(\chi^2\) calculado es: 85.95

Por tanto existe un valor \(\chi^2\) para cada grado de libertad

Así mismo, la distribución chi-cuadrado tiene asimetría positiva. A medida que aumentan los grados de libertad, se aproxima a la curva normal.

Regla de decisión

Si el \(\chi^2\) calculado es mayor que el \(\chi^2\) teórico a unos g.l y nivel de confianza determinado, se rechaza la Ho.

Por el contrario, si el \(\chi^2\) calculado es menor que el \(\chi^2\) teórico a unos g.l y nivel de confianza determinado, se acepta la Ho.

Siguiendo con nuestro ejemplo de obesidad vs género.

El valor \(\chi^2\) calculado es: 85.95 y lo vamos a comparar con el \(\chi^2\) teórico a 1 g.l.( 2-1 * 2-1)

Revisando el valor teórico en la tabla:

Por lo tanto, el \(\chi^2\) teórico 1 g.l. = 3.84

La decisión, ¿se acepta o rechaza la Ho?

Observamos que el valor calculado es superior al de la distribución teórica, por tanto, como el \(\chi_{c}^2= 85.95\) > \(\chi_{95\%}^2(1gl)= 3.84\), se rechaza la Ho, o en terminos estadísticos, no existe evidencia para aceptar la Ho

La prueba o corrección de Yates

• Es una alternativa para ajustar los resultados del chi-cuadrado en tablas de contingencia de 2x2
• Si las muestras son grandes la diferencia con el chi-cuadrado sin corrección va a ser mínima, pero en muestras pequeñas (<30), estas diferencias pueden ser importantes Lo que hace la prueba es hacerle una leve corrección al chi-cuadrado restando 0.5 a la diferencia entre observados y esperados

	Obesidad
Género	Obesos	No Obesos	Total
Hombres	\(\frac{(|227-187.5|-0.5)^2}{187.5}=8.11\)	\(\frac{(|79-118.5|-0.5)^2}{118.5}=12.83\)	\(20.94\)
Mujeres	\(\frac{(|23-62.5|-0.5)^2}{62.5}=24.33\)	\(\frac{(|79-39.5|-0.5)^2}{39.5}=38.50\)	\(62.84\)
Total	\(32.44\)	\(51.34\)	\(83.78\)

El test exacto de Fisher

• Se aplica cuando exiten celdas con valores menores a 5.
• Calcula la probabilidad de obtener los resultados observados de forma directa, generando todos los posibles escenarios y calculando la proporción en los que se cumple la condición estudiada (son test de permutaciones)
• La prueba de Fisher otorga directamente una probabilidad que puede ser comparada con α, sin uso de grados de libertad ni necesidad de examinar una tabla de distribuciones.

El test exacto de Fisher

	Obesidad
Género	Obesos	No Obesos	Totales
Hombres	227	79	306
Mujeres	23	79	102
Totales	250	158	408

\[p = \frac{306!*102!*205!*158!}{408!*227!*79!*23!*79!}=0.00001\]

Tanto la corrección de Yates como el test exacto de Fisher, son pruebas conservadoras y por tanto tienden a producir errores tipo II (no encontrar una diferencia significativa cuando en realidad sí la hay).

Cualquiera de las dos debe ser elegida en vez del chi-cuadrado cuando se tengan tablas de 2x2 o muestras muy pequeñas y/o cuando hay razones para querer ser conservador en cuanto a la posibilidad de cometer errores tipo I

Si cometer el error tipo II se considera especialmente importante en el contexto de la investigación, es mejor usar la prueba de Fisher

Indican la fuerza o intensidad de una relación, siendo posible que una relación sea débil aun teniendo significancia estadística. En general, la asociación está comprendida entre los valores 0 y 1. Donde 0 indica la ausencia de asociación y 1 es la asociación perfecta.

Coeficiente PHI

Sólo se usa en tablas 2x2. Mide el nivel de asociación entre 2 variables dicotómicas. Se obtiene de la siguiente manera:

\(\phi=\sqrt{\frac{\chi^2}{n}}\) –> \(\phi=\sqrt{\frac{85.952}{408}}=0.459\)

Coeficiente V de Cramér y Contingencia de Pearson:

Es una medida de asociación para tablas de contingencia donde una de sus variables posee más de dos categorías.

• COEFICIENTE V DE CRAMER (V)–> \(V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n*min(i-1,j-1)}}\)

• COEFICIENTE DE CONTINGENCIA DE PEARSON (C)–> \(C = \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2+n}}\)

Definen la intensidad de la asociación considerando la cantidad de errores que cometeríamos al utilizar los casos de una variable para predecir los casos de la otra.

Coeficiente de incertidumbre y el lambda y el Tau de Goodman y Kruskal

A diferencia de otros coeficientes de asociación, el coeficiente de incertidumbre y el lambda pueden ser asimétricos, esto es, permiten estimar qué variable es mejor predictora de la otra.

• Por lo anterior, es necesario definir cuál es la variable dependiente y cuál la independiente.
• Los coeficientes asimétricos sirven para contrastar hipótesis de asociación en las cuales se define una variable independiente y otra dependiente.
• Se debe considerar, sin embargo, que estos tests no permiten definir cuál de las variables es la dependiente y cuál la independiente
• Lo que permiten los tests de asociaciones asimétricas es evaluar una asociación direccional, pero no permite dirimir entre cuál es la variable dependiente y cuál es la independiente
• Por lo tanto, los tests de asociaciones asimétricas son convenientes de utilizar cuando la relación causal es clara de antemano. Si no lo es, es mejor usar un test de asociación simétrica.

Llamado tambien Coeficiente de predictibilidad de Guttman. Es una medida de asociación que refleja la reducción proporcional en el error cuando se utilizan los valores de la variable independiente para pronosticar los valores de la variable dependiente.

Un valor igual a 1 significa que la variable independiente pronostica perfectamente la variable dependiente. Un valor igual a 0 significa que la variable independiente no ayuda a pronosticar la variable dependiente

\[\lambda=\frac{\sum f_{i}-Fd}{N-Fd}\] Donde:

• fi, es la suma de las frecuencias máximas de la variable independiente
• Fd, frecuencia máxima de los totales de la variable dependiente (columna o fila).
• N, número total de casos